2024.2.25
拓扑学简介
拓扑学的英文单词是Topology，词根Topo+logy直意为“地理/位置的研究”。拓扑一词来自其英文单词的音译，“拓扑”两字本意分别有一种“开拓、延拓”和“位置移动”的含义，这和拓扑学的内容恰好暗合。
简单来说，拓扑学是一种研究几何对象在连续形变下保持不变的性质。这里连续形变可以直观地认为包含拉伸、扭曲、起皱和弯曲，但不能撕裂或粘合。
比如在拓扑范畴中，无论是圆形、三角形、矩形，它们都可以连续不折叠地压缩到一个点，所以我们认为它们都是一样的。但是给一个圆环或者圆圈，因为中间有个洞的原因，它没法缩到一个点。
所以圆环和圆在拓扑中本质上是两个东西。而拓扑学要做得事情就是如何区分圆环和圆这类事情。
在数学中，要想区分两个数学对象，我们首先要建立等价关系和等价不变性/量。比如，在线性代数中，对于两个同型矩阵$A$和$B$，若存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得
则我们称矩阵$A$和$B$是等价的。
但要判断两个同型矩阵$A$和$B$是不是等价的，我们往往不是找定义中的可逆矩阵$P$和$Q$。我们采用的是另外一种思路：由于等价的矩阵具有相同的秩，所以秩不同的矩阵一定不等价。
所以判断但要判断两个同型矩阵$A$和$B$是不是等价的，我们先求它们的秩就好了。
像这种在等价关系下所具有的相同的性质或者数量特征，我们称之为这个等价关系的等价不变性/量。比如矩阵的秩就是同型矩阵的一种等价不变量，方阵的特征值是同阶方阵的一种相似不变量，
正负惯性指数是实对称矩阵的一种合同不变量。从这里，我们可能可以看出秩，特征值，正负惯性指数的作用。
（等价不变性/量是两个等价的数学对象所具有的共性，很重要！但反过来，具有相同不变性/量的两个数学对象一定是等价的吗？这就是数学上的刚性问题。
一般来说，具有相同不变性/量的两个数学对象不是等价的。要想反过来也正确，往往需要加一些限制条件。
但万一，具有相同不变性/量的两个数学对象能确保它们是等价的，这时我们称这类不变性/量为完全不变性/量。比如，矩阵的秩就是矩阵等价的一种完全不变量。）
拓扑学的主要内容就是研究几何对象（拓扑空间）在连续形变（等价关系：同胚、同伦）下的不变性/量。我们这门点集拓扑中学习的不变性有：可数性、分离性、紧性和连通性。
后面，我们会考虑利用群环域等等，一些代数性质来给出一些拓扑不变性，这些就是代数拓扑。也会考虑用一些微积分的性质来给出一些拓扑不变性，这些就是微分拓扑。同理，还有组合拓扑、几何拓扑等等。
如果我们将来继续学习拓扑学的话，可能会接触下面这些课程或者理论—-点集拓扑、微分拓扑、代数拓扑（基本群，同调理论，上同调理论，同伦理论）、示性类、K-理论、谱序列、配边理论、无穷范畴。。。
拓扑学现状。
作业：
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