高等代数习题课--上

2021.9.28

1、行列式计算1—2021.9.28

吴利苏，实训楼 1708，wulisu@sdust.edu.cn

降阶法例题

补充题

2、行列式计算2—2021.10.6

本次习题课内容：1、讲评第一次作业；2、降阶法（化三角形，展开）18-1，升阶法17-3,18-5，求和法13-4,17-3，求根法（13-5）。

本次习题课内容：作业点评、高斯消元法和列主消元法（待续，，）

3、行列式计算3—2021.10.11

本次习题课内容：1、递推和数学归纳法（三对角行列式 18-3，18-4，和补充4-3、补充4-4）、Vandermonda行列式（补充4-5）、拆分法（补充3-1）；2、课堂测试。

行列式计算注意细节：

• 出现分数时，注意分母不能为0,分母为0的情况需要单独讨论。比如18-1，18-5，每个a_i都不为0才能做分母，a_i=0时需要单独讨论；
• 求出的行列式通式是否适用n=1，2的情况，若不适用则需要单独计算。比如17-4的结果在n=1时是否成立。分母是否出现为0的情况，若为0需要单独讨论；
• 化简行列式时，尽量规范标注所用变换和操作。
• 留意行列式的行和列的对称性，行列式中符号的对称性，有些时候会有助于计算行列式。
• 除我们见过的这些计算行列式的技巧方法外，大家学习完后面的内容后，还会有一些更巧妙的方法来计算某些行列式的值，比如矩阵乘法等等。。。

韦达定理

作业题一题多解

4、线性方程组1—2021.10.21

本次习题课内容：作业点评、高斯消元法和列主消元法（待续，，）

一个有用的数学记号:

我们可以用

$$a_1a_2\cdots a_{i-1}\hat{a}_ia_{i+1}\cdots a_n$$

表示这个连乘式中没有$a_i$项，也就是

$$a_1a_2\cdots a_{i-1}\hat{a}_ia_{i+1}\cdots a_n\overset{\Delta}{=}a_1a_2\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_n$$

三对角行列式和Fibonacci数列

$$D_n=\left| \begin{array}{cccccc} 1& 1&0&\cdots &0&0\\ -1&1&1&\cdots &0&0 \\ 0&-1&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1&1\\ \end{array} \right|$$

按照第一列展开，有

$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$

且不妨设$D_0=1$,则$D_1=1,D_2=2$. 所以$D_n$就是著名的Fibonacci数列。

补充题（10.20）

Sylvester不等式：设$A$是 $m\times n$ 阶矩阵，$B$是 $n\times t$ 阶矩阵，求证：

$$r(AB)\geq r(A)+r(B)-n.$$

4、线性方程组2—2021.11.2

本次习题课内容：补充题2,3,4,5,6,8,9讲解、几个判断题。

补充题（11.02）

讨论补充题第9题中

$$\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_{t+1}$$

是否线性相关。

6、线性方程组3—2021.12.1

本次习题课内容：剩余习题讲解。

补充题第7题和第10题第二问

一题多证

7、整数整除理论、矩阵1、2—2021.11.2

摄动法

8、多项式1、2—2021.12.27

根据同学们的作业情况，下面给出第22、26和补充题12的简答。

22，26，补12